ベクトル解析の公式の導きかた
∇ベクトル解析の公式の導きかた(その1)∇♪o(^-^)o∇ベクトル解析の公式の導きかた
ベクトル解析の本を一通り勉強してみて、本当におもしろかったですo(^-^)o
で、grad, rot,やdivの組みあわせの公式がけっこうたくさん出てきました(^^;
成分計算で証明ができるようになったら、結果の公式は覚えるしかないかなー
(*_*)って思ってたら、ネット上で公式をかんたんに導く方法がみつかりました
演算子∇のうち、(→f)にはたらく部分と(→F)にはたらく部分をわけて
計算するのがポイントみたいです(^0^)
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(公式1) grad｛(→f)・(→F)｝=*1+(→f)×(rot(→F))
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............................................................................ながいですねー(^^;
∇｛(→f)・(→F)｝=(∇f)｛(→f)・(→F)｝+(∇F)｛(→f)・(→F)｝.............①
(→F)×(∇f×(→f))=(∇f)｛(→f)・(→F)｝-｛(→F)・(∇f)｝(→f).........②
.............................................(∵ベクトル3重積を内積になおす公式)
(→f)×(∇F×(→F))=(∇F)｛(→f)・(→F)｝-｛(→f)・(∇F)｝(→F).......③
①=②+③より、
∇｛(→f)・(→F)｝=(∇f)｛(→f)・(→F)｝+(∇F)｛(→f)・(→F)｝
.........................=｛(→f)・(∇F)｝(→F)+｛(→F)・(∇f)｝(→f)
.....................................+(→F)×(∇f×(→f))+(→f)×(∇F×(→F))
.................=*2_i + (→f x (∇x →F))_i
ですが、これは(公式１）に他なりません。慣れると簡単です。
δはクロネッカーのデルタです。
*1:→f)・∇)(→F)+((→F)・∇)(→f)
........................................+(→F)×(rot(→f
*2:→f)・∇)F+((→F)・∇)f+(→F)×(∇×f)+(→f)×(∇×F)
となって、公式1の右辺にちゃんとなりますo(^-^)o
1) ∇を(→f)にはたらく部分"∇f"と、(→F)にはたらく"∇F"に分けてますけど、
これ、数式ではどういう仕組みになってるんでしょうか(^^; ?
成分計算では公式は証明できますので、これは公式を導くための道具かな
って思ってましたけど、ちゃんと数学的な理由があるなら知りたいです。
2) div、rotはそれぞれ∇との内積(∇・)、∇との外積(∇×)と「形式的に」
扱えますね。でも、この方法では、スカラー3重積とか、ベクトル3重積とか、
演算子を本当にベクトルのように扱ってるんですけど、
これって、数学的に大丈夫なんでしょうか(^^;prof_t_pninさん、いつも親切に教えていただいて、どうもありがとうございますo(^-^)o レビチビタ記号って初めてみました(^^; こんな便利な記号があったなんて驚きですo(^-^)oなんかかわいい名前の記号ですね(^0^)。もう一つの質問にしていただいた解答とあわせて公式2まではよくわかりました。公式3の証明に使う式も教えていただいてますけど、δ…って、εijkが1か0なので、もしかしてクロネッカーδですか？教えていただけますか？1) は何だかわかりません。∇f の f は一体なんでしょうか。f=｜→f| と考えても成立しません。私には間違った式変形で（たまたま）正しい結果が得られているとしか思えません。
で f はスカラーじゃないとあるので、いいのかもしれません。少なくとも標準的な使い方ではないと思いますが。
2) は全然大丈夫です。成分で計算したことがあるというのなら、その計算を追っていけば確認出来ます。ただし、微分演算子なので、作用する相手とは独立には変形できないことに注意が必要です。普通のベクトルの成分ならば A_i B_j = B_j A_i でいいですが、∇_i C_j = C_j ∇_i とはならない、ということです。
「成分で計算」というとき、添字をつけた計算をしていますか?例えば grad｛(→f)・(→F)｝ を計算したいと思ったら、この i 成分を ∇_i(f_j F_j) として計算を進めます。ただし添字がダブるときは、その添字について和を取ります。今の場合 j について(和の記号は書いていませんが）和を取ることとします。これをアインシュタインの規約といいます。rot はレビ・チビタ記号
を使って (∇x A)_i = ε_{ijk}∇_j A_k と表せます。逆に、
∇_i A_j - ∇_j A_i =ε_{ijk}(∇x →A)_k
とも表せます。これらを使うと
∇_i(f_j F_j) = (∇_i f_j) F_j + f_j(∇_i F_j)
= (∇_j f_i + ε_{ijk}(∇x →f)_k) F_j + f_j (∇_j F_i + ε_{ijk}(∇x →F)_k)
= (∇_j f_i ) F_j + f_j (∇_j F_i) + (→F x (∇x →f
